实验一 矩阵的基本运算
一、实验目的：
熟悉Matlab软件中关于矩阵的各种命令，掌握利用Matlab软件进行向量、矩阵的输入，向量与向量的运算，矩阵与矩阵的运算，矩阵与向量的运算。
二、相关知识
在线性代数中，我们曾经学过关于向量与向量的运算，主要包括向量与向量的加减法，数与向量的乘法；我们还学习过矩阵与矩阵的运算，主要包括矩阵的加减法，乘法，矩阵与向量的乘法，数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵求逆；矩阵求特征值；矩阵的初等变换；向量组的线性相关性等。我们现在要利用Matlab软件的相关命令来完成这些运算。在Matlab中，我们把向量看做1行n列（行向量）或n行1列（列向量）的矩阵，这样就可以将向量和矩阵放在一起讨论。
在Matlab中，矩阵的输入方法主要有两种，一种是在Matlab的命令窗口中输入，这种方法适合输入一些阶数较低的矩阵，而对于一些阶数较高的矩阵，则最好采用建立磁盘文件的方法，这样便于多次利用，也方便在需要的时候可以修改数据。在命令窗口输入的方法为：
A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]；
这表示在命令窗口中输入矩阵
，注意，逗号表示同行元素，也可用空格代替，分号表示换行。
如果使用磁盘文件的方法，则需要建立一个以m为后缀的文本文件，它可以用Matlab自带的编辑器编辑，也可以用任何一个能够编辑文本文件的编辑器来编辑，文本文件的内容与在命令窗口中输入的相同。将文本文件放在一个特定的位置（某一个文件夹中），并将该位置加入到Matlab的工作目录中，用File->Setpath来完成。使用时，先在命令窗口输入文件名，接着，就可以使用该文件中的所有数据了。注意：多个矩阵可以存放在一个文件中。
关于一些常见的矩阵运算在Matlab中的实现方法，我们将Matlab的命令和功能列表如下：
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序号 |
功能 |
Matlab命令 |
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1 |
求矩阵A的转置 |
A’ |
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2 |
求矩阵A与矩阵B的和 |
A+B |
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3 |
求矩阵A减矩阵B |
A-B |
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4 |
求数k乘以矩阵A |
k*A |
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5 |
求矩阵A乘以矩阵B |
A*B |
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6 |
求A的行列式 |
det(A) |
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7 |
A的秩 |
rank(A) |
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8 |
A的逆 |
inv(A) |
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9 |
B左乘A的逆；或A右除B，即B*inv(A) |
B/A |
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10 |
B右乘A的逆；或A左除B，即inv(A)*B |
A\B |
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11 |
A的特征值 |
eig(A) |
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12 |
A的特征向量矩阵X及A的特征值组成的对角阵 |
[X,D]=eig(A) |
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13 |
A的n次幂 |
A^n |
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14 |
A与B的对应元素相乘 |
A.*B |
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15 |
选择A的第i行生成一个行向量 |
ai=A(i,:); |
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16 |
选择A的第j列生成一个列向量 |
aj=A(:,j); |
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17 |
选择A的某几行、某几列上交叉元素生成A的子矩阵 |
A(起始行：步长：终行，起始列：步长：终列) 步长为1时可以省略 |
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18 |
生成n阶零矩阵 |
zeros(n) |
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19 |
生成n阶单位阵 |
eye(n) |
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20 |
将非奇异矩阵正交化 |
orth(A) |
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21 |
两个向量的内积 |
a1*a2’ |
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22 |
A的第i行与第j行互换 |
A([i,j],:)=A([j,i],:) |
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23 |
用k乘以A的第i行 |
A(i,:)=k*A(i,:) |
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24 |
A的i行加上第j行k倍 |
A(i,:)=A(i,:)+k*A(i,:) |
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25 |
由已定义的矩阵生成矩阵 |
B=[A,E;O,A] |
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26 |
求A的列向量组的一个极大线性无关组 |
rref(A) |
Matlab的一些其它命令：
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序号 |
功能 |
Matlab命令 |
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1 |
存储工作空间变量，即命令窗口使用过的变量 |
Save 文件名 变量名 |
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2 |
列出工作空间的所有变量 |
whos |
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3 |
Help 函数名 可查阅该命令的用法 |
Help命令 |
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4 |
运行演示程序Demo |
Demo命令 |
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三、实验内容
1．已知矩阵A、B、b如下：
，
，
在磁盘上建立一个名为sy1sj.m的文件，将矩阵A、B、b输入其中；
2．在1的基础上，在磁盘上建立文件sy1cx.m，完成下列计算：
1）X11=A’，X12=A+B，X13=A-B，X14=AB；
2）X21=|A|，X22=|B|；
3）X31=R(A)，X32=R(B)；
4）X4=A-1；
5）作矩阵C，其元素为A的元素乘以每个元素的行标再乘以每个元素的列标。
6）用5）得到的矩阵C，求解矩阵方程XA=C中的解矩阵X6；
7）求满足方程组AX=b’的解向量X7；
8）求X6的特征向量组，记为X8，相应的对角形记为D；
9）计算X9=B2(A-1)2；
3．在1的基础上，完成下列运算：
1）生成矩阵A的行向量组：a1，a2，a3，a4，a5，a6；
2）生成矩阵A的列向量组：b1，b2，b3，b4，b5，b6；
3）由A的1、3、5行，2、4、6列交叉点上的元素生成A的子矩阵A3；
4）生成一个12阶矩阵A4，其左上角为A，右上角为6阶单位阵，左下角为6阶零矩阵，右下角为B；
5）将A对应的行向量组正交规范化为正交向量组A5，并验证所得结果；
6）求a1与a2的内积A7；
7）完成以下初等变换：将A的第一、四行互换，再将其第三列乘以6，再将其第一行的10倍加至第五行；
8）求B的列向量组的一个极大无关向量组A9，并将其余向量用极大线性无关向量组线性表示。
4．完成实验报告。