实验十一  Bezier曲线的绘制

 

一、实验目的

初步了解Bezier曲线的定义，能利用Matlab软件绘制二次Bezier曲线和三次Bezier曲线。

 

二、相关知识

Bezier曲线是一种广泛应用于外形设计的参数曲线，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。现在我们来给出Bezier曲线的数学表达式。

在空间给定个点，称下列参数曲线为次Bezier曲线。

         

其中是Bernstein基函数，其表达式为：

        ，

一般称折线为曲线的控制多边形；称点为的控制顶点。Bezier曲线与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形是的大致形状的勾画；是对的逼近。

Bezier曲线有许多性质，我们这里仅讨论两条：

（1）端点位置

我们指出，和是的两个端点，这一点容易从的表达式得到，即

，

（2）端点的切线

Bezier曲线在点与边相切，在点与边相切，此性质可以从以下二式得证：

    ， 

Bezier曲线还有一些其它性质，这些将在今后的《计算几何》课程中专门讨论。

现在我们讨论Bezier曲线的Matlab绘制。先讨论2次Bezier曲线，即的情形。此时有3个顶点，为了在Matlab中计算方便，我们将Bezier曲线的一般表示式改写为矩阵形式，我们得到：

这样，对于确定的，我们取定区间中的值后，即可计算的值，注意，的维数是与的维数对应的，如果是平面上的点即2维坐标，则也是2维坐标，如果是空间的点即3维坐标，则也是3维坐标，因此，对于每一组确定的，即可绘制出一条2次Bezier曲线。完成平面2次Bezier曲线的Matlab程序如下：

先编制完成Bezier曲线计算和绘制的函数bezier2.m，其参数是控制顶点的坐标。

% Bezier Square Curve Ploter

% This file will create a Bezier square curve and dispay the plot.

% The parameter is the Vertex matrix.

function [X] = bezier2(Vertex)

BCon=[1 -2 1;-2 2 0;1 0 0];                  % constant Matrix

for i = 1:1:50                            

   par = (i - 1)/49;

   XY(i,:) = [par^2 par 1]*BCon*Vertex;      % create data

end

% display the vertices and the curve using Matlabs built-in graphic functions

clf                                     % this will clear the figure

plot(Vertex(:,1),Vertex(:,2),'ro',XY(:,1),XY(:,2),'b-')

% create a plot of both the Vertices and curve, the vertices will be red “o”

% while the curve is blue line

line(Vertex(:,1),Vertex(:,2),'color','g')       % add the control polygon.

xlabel(' x ')

ylabel ('y ')

title('Square Bezier Curve')

legend('控制顶点','Bezier曲线','控制多边形')   % you can move the legend on the plot

然后，在命令行定义Bez2Vertex=[ 0 0 ; 0.3 0.7 ; 1.0 0.2]，即定义，，，再在命令行输入bezier2(Bez2Vertex)，则可得到如下的图形：

    通过改变控制顶点的坐标，即可得到所需要的2次Bezier曲线。

接着我们讨论3次Bezier曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：

这样，我们就可以用与前面几乎相同的程序来绘制3次Bezier曲线了。如设，，，，则可得到如下的3次Bezier曲线。

注意：图中“o”表示控制顶点，直线表示控制多边形，曲线即为Bezier曲线。

当我们需要的曲线较为复杂时，仅用一段Bezier曲线难以表示，此时，我们可以采用拼接的方法，通过重复使用较为简单的绘制方法来绘制出较为复杂的图形。

在拼接时，我们首先要求曲线是连续的，我们以二段3次Bezier曲线的拼接为例来讨论。设控制顶点分别为和，则当与重合时，即能保证曲线连续，我们称两段曲线这样的连续为零阶几何连续，在此基础上，如果我们保证与重合，且和均不为零且同向，则我们可以保证曲线在处是光滑的，此时，我们称该曲线在处为一阶几何连续。在稍微复杂一点的条件下，我们还可以使曲线在拼接处有相同的曲率。同时，Bezier曲线还有其它的生成算法，这些都留待以后去讨论。

三、实验内容

1．设，，，绘制以为顶点的2次Bezier曲线。

2．设．设，，，绘制以为顶点的3次Bezier曲线。

3．已知有7个顶点，，，，，，，，用二段3次Bezier曲线来绘制出分别以和为控制顶点的Bezier曲线。

4*．推导4次Bezier曲线计算公式的矩阵形式。

5*．编制Matlab程序绘制以，，，，为控制顶点的4次Bezier曲线。

6．完成实验报告。