实验十 插值与拟合
一、实验目的
学会MATLAB软件中曲线拟合与插值运算的方法。
二、相关知识
在生产和科学实验中，自变量
与因变量
间的函数关系
有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数
，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数
有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。
一维插值
已知离散点上的数据集
，即已知在点集X=
上的函数值Y=
，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X,Y,xi,method)
该命令用指定的算法找出一个一元函数
，然后以
给出
处的值。xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：
‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值；
‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ‘cubic’：三次函数插值；
对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
解：程序如下
year=1900:10:2010;
product=[75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893]
p1995=interp1(year,product,1995)
x=1900:2010;
y=interp1(year,product,x,'cubic');
plot(year,product,'o',x,y);
计算结果为：p1995=252.9885。
二维插值
已知离散点上的数据集
，即已知在点集
上的函数值
，构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值。
MATLAB函数：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)
该命令用指定的算法找出一个二元函数
，然后以
给出
处的值。返回数据矩阵
，Xi，Yi是向量，且必须单调，
和meshgrid(Xi,Yi)是同类型的。method可以下列方法之一：
‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值；
‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ‘cubic’：三次函数插值；
例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：
表：某企业工作人员的月平均工资（元）
|
服务年限 年份 |
10 |
20 |
30 |
|
1950 |
150.697 |
169.592 |
187.652 |
|
1960 |
179.323 |
195.072 |
250.287 |
|
1970 |
203.212 |
239.092 |
322.767 |
|
1980 |
226.505 |
273.706 |
426.730 |
|
1990 |
249.633 |
370.281 |
598.243 |
试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。
解：程序如下：
years=1950:10:1990;
service=10:10:30;
wage=[150.697 169.592 187.652
179.323 195.072 250.287
203.212 239.092 322.767
226.505 273.706 426.730
249.633 370.281 598.243]
w=interp2(service,years,wage,15,1975)
计算结果为：235.6288
例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x,y构成的网格上，数据为：
12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25
20,25,30,33,32,20
求通过这些点的插值曲面。
解：程序为：
x=1:6;
y=1:4;
t=[12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25;
20,25,30,33,32,20]
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,t)
x1=1:0.1:6;
y1=1:0.1:4;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');
subplot(1,2,2)
mesh(x1,y1,t1);
结果如图。
曲线拟合
已知离散点上的数据集
，即已知在点集
上的函数值
，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使
在原离散点
上尽可能接近给定的
值，这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数
使得
最小。
MATLAB函数：p=polyfit(x,Y,n)
说明：求出已知数据x，Y的n阶拟合多项式
的系数p，x必须是单调的。
例4：求如下给定数据的拟合曲线，x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为：
p =0.5614 0.8287 1.1560
此结果表示拟合函数为：
，用此函数拟合数据的效果如图所示。
三、实验内容
1．已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1]，y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5]，利用其中的部分数据，分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。
2．已知二元函数
在点集
上的值为
，其中，左上角位置表示
，右下角位置表示
，求该数据集的插值曲面。
3．已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3]，y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5]，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
4．学习函数interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method)，对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。
5．完成实验报告。