实验十五用MATLAB求解非线性优化问题

一、实验目的

了解Matlab的优化工具箱，利用Matlab求解非线性优化问题。

二、相关知识

非线性优化包括相当丰富的内容，我们这里就Matlab提供的一些函数来介绍相关函数的用法及其所能解决的问题。

（一）非线性一元函数的最小值

Matlab函数为fminbnd()，其使用格式为：

X=fminbnd(fun,x1,x2)

[X,fval,exitflag,output]= fminbnd(fun,x1,x2)

其中：fun为目标函数，x1，x2为变量的边界约束，即x1≤x≤x2，X为返回的满足fun取得最小值的x的值，而fval则为此时的目标函数值。exitflag>0表示计算收敛，exitflag=0表示超过了最大的迭代次数，exitflag<0表示计算不收敛，返回值output有3个分量，其中iterations是优化过程中迭代次数，funcCount是代入函数值的次数，algorithm是优化所采用的算法。

例1：求函数在区间的最小值和相应的值。

解决此问题的Matlab程序为：

clear

fun='(x^5+x^3+x^2-1)/(exp(x^2)+sin(-x))'

ezplot(fun,[-2,2])

[X,fval,exitflag,output]= fminbnd(fun,-2,2)

结果为：

X = 0.2176

fval =-1.1312

exitflag = 1

output = iterations: 13

funcCount: 13

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

（二）无约束非线性多变量优化问题

这里我们介绍两个命令：fminsearch()和fminunc()，前者适合处理阶次低但是间断点多的函数，后者则对于高阶连续的函数比较有效。

命令fminsearch()的格式为：

X= fminsearch(fun,X0)

[X,fval,exitflag,output]= fminsearch(fun,X0,options)

该命令求解目标函数fun的最小值和相应的x值，X0为x的初始值，fval为返回的函数值，exitflag=1表示优化结果收敛，exitflag=0表示超过了最大迭代次数。返回值output有3个分量，其中iterations是优化过程中的迭代次数，funcCount是代入函数值的次数，algorithm是优化所采用的算法。options是一个结构，里面有控制优化过程的各种参数，参考optimset()命令来设置，一般情况下我们不必改动它，即使用缺省设置就可以了。

例2：求函数的最小值以及最小值点。

完成该计算的Matlab程序如下：

clear

fun1='sin(x)+cos(y)'

fun2='sin(x(1))+cos(x(2))'

ezmesh(fun1)

[X,fval]=fminsearch(fun2,[0,0])

X = -1.5708 3.1416

fval = -2.0000

其中语句ezmesh()是为了画出函数的图形，注意这里fun1和fun2的不同，考虑如果用相同的是否可行。

命令fminunc()的格式为：

X=fminunc(fun,X0)

[X,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,X0,options)

命令fminunc()通过计算寻找多变量目标函数fun的最小值，X0为优化的初始值，X为返回的变量的值，grad返回解点的梯度，hessian返回解点的汉森矩阵。其它参数的意义和命令fminsearch()相同。

例3：求函数的最小值。

解：Matlab程序为

clear

fun='exp(x(1))*(2*x(1)^2+3*x(2)^2+2*x(1)*x(2)+3*x(2)+1)';

x0=[0,0];

options=optimset('largescale','off','display','iter','tolx',1e-8,'tolfun',1e-8);

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0,options)

运行结果为：

Iteration	Func-count	f(x)	Step-size	Directional derivative
1	2	1	0.2	-10
2	8	0.369471	0.134277	-0.0203
3	14	0.154419	0.459778	-0.0696
4	20	0.134704	0.746874	-2.28e-005
5	26	0.132961	0.63991	-1.1e-007
6	32	0.132961	0.897232	-7.32e-009

Optimization terminated successfully:

Current search direction is a descent direction, and magnitude of

directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun

x = 0.2695 -0.5898

fval = 0.1330

exitflag = 1

output = iterations: 6

funcCount: 33

stepsize: 1.0000

firstorderopt: 1.6892e-005

algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'

grad = 1.0e-004 * ( -0.1689, 0.0074)

hessian = 5.1110 2.6437

2.6437 8.0539

本例的程序对参数options进行了设置，'largescale','off'，关闭了大规模方式，'display',用来控制计算过程的显示，'iter'表示显示优化过程的每次计算结果，'off'表示不显示所有输出，'final'仅输出最后结果，'tolx'用来控制输入变量x的允许误差精度，本例设置为1e-8，'tolfun'是控制目标函数的允许误差精度，缺省值是1e-4，本例为1e-8。

（三）有约束非线性多变量优化问题

由线性规划我们看到优化要处理各种约束条件，在非线性规划中问题就更加复杂，除了线性规划中的那些约束外，还要增加非线性约束。Matlab的命令函数fmincon()可以处理有约束的非线性多元函数的优化问题。

有约束多变量优化问题的数学模型为：求一组变量，满足在给定的约束条件下，使目标函数最小。目标函数一般为非线性函数，约束条件分为线性不等式约束、线性等式约束、变量边界约束和非线性约束几部分。除了非线性约束以外，表示方法与线性规划相同。函数fmincon()的具体格式为：

X=fmincon(fun,x0,A,b)

X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq,Lb,Ub)

X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq,Lb,Ub,nonlcon,options)

[X,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,…)

[X,fval,exitflag,output,lambda,grad,Hessian]=fmincon(fun,x0,…)

参数中fun为目标函数，x0为变量的初始值，x为返回的满足要求的变量的值。A和b表示线性不等式约束，Aeq，Beq表示线性等式约束，Lb和Ub分别为变量的下界和上界约束，nonlcon表示非线性约束条件，options为控制优化过程的优化参数向量。

返回值fval为目标函数。exitflag>0表示优化结果收敛于解，exitflag=0表示优化超过了函数值的计算次数，exitflag<0表示优化不收敛。lambda是拉格朗日乘子，显示那个约束条件有效。grad表示梯度，hessian表示汉森矩阵。

例4：求，使得目标函数在约束条件，下取得最小值。

我们设计的程序如下：

先把目标函数和约束条件分别编写成独立的m文件，注意，这样的m文件必须用function开头，并且文件名一定要和函数名一致。目标函数的文件为：

function f=objfun(x)

f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

约束条件的文件为：

function [c,ceq]=confun(x)

c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10]; %表示不等式非线性约束

ceq=[]; %表示等式非线性约束

接着，编写完成优化的程序如下：

clear

x0=[-1 1];

options=optimset('largescale','off','display','iter');

[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],[],[],@confun,options)

运行结果为：

Iter	F-count	f(x)	constraint	max Step-size	Directional derivative	Procedure
1	3	1.8394	0.5	1	0.0486
2	7	1.85127	-0.09197	1	-0.556	Hessian modified twice
3	11	0.300167	9.33	1	0.17
4	15	0.529834	0.9209	1	-0.965
5	20	0.186965	-1.517	0.5	-0.168
6	24	0.0729085	0.3313	1	-0.0518
7	28	0.0353322	-0.03303	1	-0.0142
8	32	0.0235566	0.003184	1	-6.22e-006
9	36	0.0235504	9.032e-008	1	1.76e-010	Hessian modified