实验五 MATLAB中的概率统计函数

一、实验目的：

熟悉Matlab中有关概率统计的命令，掌握利用Matlab软件进行概率统计基本问题的解决方法。

二、相关知识

在Matlab中，有一个专门的工具箱stats toolbox来处理有关概率论和数理统计的内容，该工具箱中有许多关于概率统计的函数，这里介绍一些基本命令。

我们先看一个例子：

例1：设有1000件零件，其中优等品300件，随机抽取50件来检查，计算：

（1）其中不多于10件优等品的概率。绘出这50件产品中优等品的概率分布图。

（2）根据（1）算得的概率p，进行逆累积概率计算，把算得的结果和10进行比较。

（3）其中恰好有10件优等品的概率。给出随机变量的分布概率密度图像。

根据概率论的知识，对于一批共有M件产品，其中有K件次品，如果我们一次随机抽取N件来查看，则其中次品件数x符合超几何分布，我们记做：X~H(N,K,M)。

在Matlab中，函数hygecdf()用来计算超几何分布的积累概率分布，其具体格式如下：

P=hygecdf(x,M,K,N)

命令函数中参数的意义为：共有M件产品，次品K件，抽取N件检查，计算发现其中不多于x件次品的概率。

函数hygepdf()用来计算超几何分布的概率密度分布，其具体格式如下：

Px=hygepdf(x,M,K,N)

命令函数中参数的意义为：共有M件产品，次品K件，抽取N件检查，计算发现其中恰好有x件次品的概率。

函数hygeinv()进行逆累积分布计算，和hygecdf()命令相对应。其具体格式如下：

X=hygeinv(p,M,K,N)

在已知参数M、K、N和概率p的情况下计算随机量X，使得x分布在[0,X]上的概率为p。

函数hygernd()产生超几何分布随机数，具体格式为X＝hygernd(M,K,N,m,n)，其在已知参数M、K、N的条件下，产生m行n列符合超几何分布的随机数。

依照上面的介绍，我们可设计程序如下：

clear

P1=hygecdf(10,1000,300,50)

X=hygeinv(P1,1000,300,50)

P2=hygepdf(10,1000,300,50)

x=1:50;

Px1=hygecdf(x,1000,300,50);

Px2=hygepdf(x,1000,300,50);

stairs(x,Px1);

figure ％生成一个新的图形窗口

stairs(x,Px2);

这里，函数stairs(x,y)绘制向量y的阶梯图，其中阶梯的宽度以向量x指定。

上面我们介绍了4个关于超几何分布的函数，其实对于每一种常见分布，Matlab都提供了相应的函数，只要把表示超几何分布的字头”hyge”换成相应的字头即可，在Matlab中，表示常用分布函数的字头如下：

分布	函数字头	分布	函数字头
两项分布	bino	指数分布	exp
几何分布	geo	正态分布	norm
超几何分布	hyge	T分布	t
泊松分布	poiss	F分布	f
均匀分布	unif	β分布	beta
离散均匀分布	unid	γ分布	gam

我们只要将它们分别与cdf、pdf、inv、rnd组合，即可得到各种分布的相应函数。其用法可以用“help 函数名”查看。

Matlab还可以用来求常用分布函数计算数学期望和方差，命令如下：

分布名	计算命令	意义和说明
两项分布	[E,D]=binostat(N,P)	计算两项分布的数学期望和方差
超几何分布	[E,D]=hygestat(M,K,N)	计算超几何分布的数学期望和方差
泊松分布	[E,D]=poisstat(Lambda)	计算泊松分布的数学期望和方差
均匀分布	[E,D]=unifstat(A,B)	计算均匀分布的数学期望和方差
指数分布	[E,D]=expstat(P,Lambda)	计算指数分布的数学期望和方差
正态分布	[E,D]=normstat(mu,sigma)	计算正态分布的数学期望和方差

命令cov()计算协方差，corrcoef()计算相关系数。

Matlab还可以用来进行参数估计，常用分布参数估计的命令如下表

常用分布	参数估计命令
泊松分布	[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,Alpha)
均匀分布	[ahat,bhat,aci,bci]=unifit(X,Alpha)
指数分布	[lambdahat,lambdaci]=expfit(X,Alpha)
两项分布	[phat,pci]=binofit(X,Alpha)
正态分布	[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,Alpha)

例2：设有一批零件，其中一级品的概率为0.2，现在从中随机抽取20只，其中一级品的个数为随机量。根据条件给出一个随机数，然后再根据这个随机数计算一级品率的最大可能性估计值。

解：程序如下：

clear

X=binornd(20,0.2) ％生成二项分布随机数

[p,pci]=binofit(X,20) ％给出参数估计和置信区间

结果为：X =2，p =0.1000，pci =[0.0123, 0.3170]

这样的结果表示：当随机抽取20个样品，其中一级品为2个时，一级品率的估计值为0.1，虽然与实际情况不符，但的确在置信区间内。

例3：设有一批产品2000个，其中有30个次品，随机抽取100个产品，求其中次品数x的概率密度分布，并绘制图形。这里有两种抽取方法：（1）不放回抽样，一次抽取100个。（2）放回抽样，抽100次。

分析：不放回抽样，x服从超几何分布。放回抽样，x服从两项分布，此时次品率按30/2000 =0.015计算；因为抽取的数量多（100个），次品率小（p=0.015），所以x的分布可以按泊松分布近似计算，此时分布参数Lambda＝100×0.015=1.5。程序如下：

clear

x=0:20;

P1=hygepdf(x,2000,30,100);

P2=binopdf(x,100,0.015);

P3=poisspdf(x,1.5);

subplot(3,1,1)

plot(x,P1,'+')

title('hygepdf');

subplot(3,1,2)

plot(x,P2,'*')

subplot(3,1,3)

plot(x,P3,'.')

title('poisspdf')

在这个程序中，有两个新的函数，一个是subplot(m,n,t)，它表示生成一个有m行n列个绘图区域的窗口，并在第t个绘图区域里绘图。另一个是title(‘name’)，该函数给绘制的图像加上标题’name’。

三、实验内容

1．在计算机上实现相关知识中的三个实例，体会Matlab有关概率统计函数的用法。

2．某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数为x，（1）试计算x=45的概率和x<=45的概率。（2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。

3．完成实验报告。