实验十八  Mathematica的微积分功能

 

一、实验目的

了解Mathematica的微积分功能，能用Mathematica软件解决微分、积分、级数展开等问题。

 

二、相关知识

本实验介绍数学软件Mathematica的微积分功能。从本实验开始，我们在所举实例中仅给出Mathematica语句，除特别需要外，输出结果请大家自己运行。并且也省略系统自动生成的In[xx]:=。

（一）求极限

计算函数极限的Mathematica函数为：Limit[f[x],x->x0]。在此基础上，还可以加上参数Direction->1或Direction->-1来表示左极限和右极限。

例1：求极限。                 

解：Limit[Sin[x]/x,x->0]

例2：求极限。              

解：Limit[(1+α/x)^(β*x),x-> ∞]

例3：分别计算和

解：Limit[(x^2-4)/(4*x^2-7*x-2),x->Infinity]

Limit[(x^2-4)/(4*x^2-7*x-2),x->0]

例4：求极限和。           

解：Limit[1/x,x->0,Direction->-1]

Limit[1/x,x->0,Direction->1]

例5：观察求极限的结果。        

解：Limit[Sin[1/x],x->0]

系统回应：，这表示函数值在区间间振荡。

例6：观察求极限的结果。

解：Limit[(Sin[x]+x)/(x+Cos[x])^Sin[x],x->Infinity]

系统回应：

这说明系统在无法计算极限时，将原表达式照样返回。

（二）微商和微分

在Mathematica中，用于求微商（导数）的函数为D[]，其具体的使用格式和功能如下：

D[f,x]                          计算偏导数

D[f,x1,x2,…]                    计算高阶偏导数，

D[f,{x,n}]                       计算阶偏导数

D[f,x,NonConstants->{v1,v2,…}]    计算，其中，，依赖于

例7：设函数，求。

解：D[Exp[z]*Sin[x^2*y^3],x,y,z]

例8：设是的函数，，求，

解：D[f[g[t]],x, NonConstants->t]

结果为：

在Mathematica中，全微分和全导数共用函数Dt[]，该函数的具体使用格式为：

Dt[f]           求全微分

Dt[f,x]         求全导数

例9：求函数的全微分和全导数

解：求全微分用Dt[x^2y^3]，结果为：；

    求全导数用Dt[x^2y^3,x]，结果为：

    这里因为没有给出y关于x的具体表达式，因此系统也就不能具体计算出来。如果预先定义y=Sin[x]，则系统就会给出：

例10：函数的定义和求导。

                 定义

                                     求的导数

             系统给出的计算结果

                                   求的2阶导数

   系统给出的结果

通过例10，我们又有了一种新的求导方法，它就和我们平时书写一样。

（三）不定积分和定积分

不定积分和定积分共用函数Integrate[]，其具体使用格式如下：

    Integrate[f,x]                        计算不定积分

    Integrate[f,x,y]                      计算不定积分

    Integrate[f,x,y,z]                     计算不定积分

    Integrate[f,{x,a,b}]                   计算定积分

    Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d}]             计算二重积分

例11：计算不定积分的Mathematica程序为Integrate[5b x^4,x]，计算结果为：，这里注意，5和b间的空格或乘号可以省略，但b和x间的空格或乘号不能省略。在Mathematica中的表达式中，乘号可以用空格来代替，在较新的版本中具体数字和符号间的空格也可以省略，但符号与符号间的空格不能省略。

例12：计算二重不定积分  （这与积分次序无关）

解：Integrate[4x^3+3y^2,x,y]

计算结果为：

例13：计算定积分

解：计算结果为：

如果希望得到具体的数字，我们可接着用N[%]得到：。

例14：计算积分。

解：

结果为：

这里要注意积分的次序先积分的要写在后面，最后一次积分的变量和区间要紧跟在函数的后面。

（四）幂级数

将函数展开成幂级数用函数Series[]，其具体格式为：

    Series[expr,{x,x0,n}]            将expr在点展开到阶的幂级数

    Series[expr,{x,x0,n},{y,y0,m}]    先对展开到阶再对展开阶幂级数

例15：展开到的6次幂。

解：

例16：展开f[x]展开成的幂级数到的4次幂，

解：

如果事先定义了f[x]，则展开式就是我们所需的特定展开式，如：

例17：将函数展开成幂级数，关于展开到4次幂，关于展开到6次幂。

解：

（五）傅立叶级数

要把一个函数展开成傅立叶级数，主要就是计算傅立叶系数，实际就是计算定积分，根据傅立叶系数的公式，我们知道：

 ， ，

因此我们容易用Mathematica软件来进行计算，我们首先来定义和，

接着，只要定义好f[x]，就可以就可以根据需要计算出傅立叶系数了。

例18：写出函数的傅立叶展开式中的前11个系数。

解：根据上面的程序，可以得到：

a[0]=，a[1]=-4，b[1]=，

a[2]=1，b[2]= ，a[3]= ，b[3]=，

a[4]=，b[4]= ，a[5]=，b[5]= 。

 

三、实验内容

1．求极限（1）；（2）

2．求导数（1）已知，求；（2）已知，求。

3．求不定积分（1）；（2）；（3）。

4．求定积分（1）；（2）。

5．求二重积分（1）；（2）。

6．求三重积分

7．将函数在处展开为幂级数（至5阶）。

8．将函数展开为傅立叶级数，求前9个系数。

9．完成实验报告。