实验二十 Mathematica程序设计

一、实验目的

了解Mathematica的程序设计功能，能用Mathematica软件设计程序，以解决较大规模的问题。

二、相关知识

本实验介绍数学软件Mathematica的程序设计功能。

（一）自定义函数

在Mathematica中，除了系统定义的常用函数以外，当我们需要使用自己的函数来完成特定的任务时，可以使用自定义函数的方法来定义我们自己所需要的函数。

自定义的方法是：

f[x_]:=包含x的表达式

f[x_ , y_]:=包含x，y的表达式

这里x_可以为实数、向量或矩阵。

系统还允许两个不同类型的函数取相同的函数名。

例1：g[x_]:=x^2+Sin[x]

g[x_ , y_]:=x+y

这时，系统同时接受了这两个同名的函数，并且会根据情况自动调用相应的表达式。但如果我们接着定义g[x_]:=Log[x]，则g[x_]的定义就被改变了，而g[x_ , y_]依然存在。

要清除g的全部定义，用Clear[g]。而如果仅仅希望清除g[x_]的定义，则用

g[x_]:=.

来完成。

自定义函数的立即赋值和延迟赋值：

在Mathematica中，定义函数时除了用“:=”外，也可以用“=”来定义，但二者的意义是不同的，我们来看f[x_]:=2x和g[x_]=2x，如果x没有被定义，则它们二者没有什么差异，但如果在定义函数之前，已经定义了x=2，则我们将会发现二者有很大的差异。我们将使用“=”定义的称为立即赋值函数，这种函数在定义时赋值号右边的表达式立即被求值，如果此时右边的变量已经有值，则调用此函数时无法替换；而用“:=”定义的函数称为延迟赋值函数，系统记录的只是一个规则，求值是在调用时才进行的。严格地讲，这才是真正意义的函数。但Mathematica为了某些需要，也允许用“=”来定义函数，例如在利用Plot作出含有计算命令函数的图形时，就有这样的需要。

例2：比较：fun[x_]=D[Sin[x]^2,x]+Integrate[4x^3,x];Plot[fun[x],{x,-1,1}]

和 fun[x_]:=D[Sin[x]^2,x]+Integrate[4x^3,x]; Plot[fun[x],{x,-1,1}]的差异。

解：前者在运行时没有问题，但后者由于调用时没有具体的值而无法进行计算，但也不是一定要用第一钟方法来定义函数，其实这时可采用将Plot语句中的fun[x]改为Evaluate[fun[x]]来实现上面的功能。

例3：定义递归函数。菲波那奇数列是我们熟悉的数列，我们可以通过下面的Mathematica程序来生成该数列：

f[1]=1;f[2]=1;f[x_]:=f[x-1]+f[x-2]

也可以用

f[1]=1;f[2]=1;f[x_]:f[x]=f[x-1]+f[x-2]

来定义，当我们用后者时，只要我们一旦计算了f[n]，则对所有小于n的整数i，f[i]均已保留在系统中，而不需要重新计算。

我们可以先计算f[10]，再用?f查看内存的情况。

（二）过程

Mathematica中的一个过程就是用分号隔开的表达式序列，一个表达式序列也称为一个复合表达式，在Mathematica的各种结构中，任何一个表达式的位置都能放一个复合表达式。

（三）条件控制语句

Mathematica中提供了If、Which和Switch三种描述条件分支的结构语句，这些条件语句常用在程序中，以增强程序的功能。

1．If语句结构

If结构有下列三种情况：

If[逻辑表达式，表达式1]：当逻辑表达式成立时，计算表达式1，其值就是If结构的值。

If[逻辑表达式，表达式1，表达式2]：当逻辑表达式成立时，计算表达式1，其值作为If结构的值；当逻辑表达式不成立时，计算表达式2，其值作为If结构的值。

If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3]：当逻辑表达式成立时，计算表达式1，其值作为If结构的值；当逻辑表达式不成立时，计算表达式2，其值作为If结构的值；当逻辑表达式既非成立也非不成立时（多数为无法判断时），计算表达式3，并将其值作为If结构的值。

例４：（1）x=1;If [x>0,x]

（2）定义f [x_ , y_]:=If [x>0&&y>0, x+y, x-y]

　　 输入f [3,3]，返回6，输入f [2,-2]，返回4，

输入f[2,u]，返回

（3）定义g [y_]:=If [y>0, “ABC”,“DEF”,“XYZ”]

输入g[Z]，返回XYZ （无法判断Z是否>0）

2、Which语句结构

Which语句的一般形式为：

Which [条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n]

Which [条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n，True，表达式]

依次计算条件i，计算对应第一个条件为True的表达式的值，作为整个结构的值。如果所有条件的值都为False，则第一种格式不做任何运算，在第二种格式中，以表达式的值作为整个结构的值。

例5：给出函数

的定义，并分别计算，，，。

解：f [x_]:=Which[x<0,x,x>=0&&x<2,Cos[x],x>=4&&x<6,x^2,True,1]

{f [-1],f [1],f [3],f [5]}

例6：定义：K[x_]:=Which[x>1,u=1,x>3,v=2,x>s,w=3]

则 K[6]=1 （考虑为什么？）

3、Switch语句结构

Switch语句的一般形式为：

Switch [表达式，模式1，表达式1，模式2，表达式2，…，模式n，表达式n]

将表达式与模式1、模式2，…，模式n依次做比较，给出第一个与表达式匹配的模式i对应的表达式i的值,若均不匹配，则返回原式。

例7：g[x_]:=Switch[Mod[x,3],0,a,1,b,2,c]

{g[7],g[8],g[9]}

结果为：{b,c,a}

（四）循环控制结构

Mathematica提供了三种循环控制结构：Do、While和For

1、Do语句结构

Do[表达式，{i,i0,i1,s}]： 循环变量i从i0到i1，每次增加s，计算表达式的值；

Do[表达式，{i,i1}]： i0=1步长为1时的省略形式；

Do[表达式，{n}]： 计算表达式n次；

Do[表达式，{i,i0,i1,is}，{j,j0,j1,js}]： i从i0到i1按步长is递增，j从j0到j1按步长js递增，对每个i、j计算表达式。

例8：t=x;Do[t=1/(1+K t);Print[t],{K,2,6,2}]

这里注意K和t之间一定要有空格。

Do[Print[{i,j}],{i,4},{j,i}]

2、While语句结构

While语句的一般形式为：

While[条件，循环体]

例9：用While求1到100的和 i=1 ; s=0;

While[i<100,i=i+1;s=s+i];s

这里注意i的变化范围。

3、For语句结构

For语句的一般形式为：

For[初始值，条件，步长，循环体]

例10：用For求1到100的和：For[i=1;s=0,i<=100,i=i+1,s=s+i];Print[s]

这里注意i的变化范围与用While时的不同。i=1;s=0是一个复合语句作为初始值。

输出乘法口诀表：For[i=1,i<10,i=i+1,For[j=i,j<10,j=j+1,Print[i,“*”,j,“=”,i*j]]]

（五）转向控制

Label[name]：用标识符name标出复合表达式的一个位置；

Goto[name]：转向当前过程中Label[name]位置后继续运行；

Return[表达式]：退出函数中的所有过程和循环，返回表达式的值；

Break[ ]：结果本层循环；

Continue[ ]：转向本层For或While结构中的下一次循环；

后三个函数的意义与C语言相同。具体用法请查看系统帮助。

（六）程序的注释

在Mathematica中用（*注释内容*）来对程序加注释，以增加程序的可读性。

三、实验内容

1、找出100至1000之间的能被3或11整除的自然数。

2、计算对于具体要计算的，直到第n项的绝对值小于，计算的值。

3、先定义：

然后计算、、。

4、已知，，计算

5、已知计算的牛顿迭代表达式为：

以作为初值，计算10次迭代的结果。

6、完成实验报告。