实验七  分形初探

 

一、实验目的

了解有关分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，对分形几何这门学科有一个直观的了解。同时，掌握利用Matlab软件进行分形图形生成的方法。

 

二、相关知识

早在19世纪末及20世纪初，一些科学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形，这类图形的构造方法都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形F不断修改得到的，下面是几个最具代表性的分形图形及其生成方法。

例1：Koch曲线及其构造方法

给定一条线段F0，将该线段三等分，并将中间一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替，得到图形F1；然后，再对图形F1中的每一小段都按照上述方式修改，直至无穷，则最后得到的极限曲线，即所谓的Koch曲线。

  

            F0                       F1                        F2

  

             F3                      F4                        F5

生成程序Koch曲线的Matlab程序见教材。

例2：Sierpinski三角形及其构造方法

这是分形的另一个典型例子。给定一个三角形S0（填成黑色），取各边的中点，连接起来构成一个相似三角形（填成白色），得到图形S1，现在，白色三角形的周围有三个小黑三角形，我们对这三个小黑三角形继续上面的操作以至无穷，最后得到的图形称为Sierpinski三角形。按照上述方法生成Sierpinski三角形的Matlab函数如下，其中A,B,C表示Sierpinski三角形的三个顶点坐标，用列向量表示，这是一个递归函数，level是递归次数。

程序见教材。

下图依次是level=0,1,2,3,4,5所得到的图形。

  

            S0                         S1                        S2 

  

             S3                        S4                        S5 

三、实验内容

1．以a=(0,0)，b=(2,0)，c=(1,sqrt(3))为三个顶点，分别以线段ab，bc，ca为生成元生成Koch曲线，并将其绘制在同一窗口中。（递归到第5次。）

2．参考例2的方法，编制Matlab程序，绘制出Sierpinski地毯图案，该分形图案的构成方法如下：

给定一个矩形S0（填成黑色），将每条边三等分，连接各对边上对应的点，将S0等分成9个大小相同的矩形，将中间的一个填成白色，得到图形S1，接着对S1中的8个黑色的矩形进行同样的操作，得到S2，继续上面的操作以至无穷，最后得到的图形称为Sierpinski地毯。如图所示，要求编制程序并绘制出S5。

   

S0                  S1                 S2                  S5

3．完成实验报告。